viernes, 20 de abril de 2012

Reporte # 2

Reporte # 2

Procesos Estocasticos Discretos y Continuos

Problema planteado a resolver.

Tengo un libro de 300 páginas que consta de 16 capítulos, cada capitulo incluye una portada de presentación. Cual es la probabilidad de que al elegir una pagina al azar se eliga alguna de las 16 portadas.

Para conocer a que tipo de distribución pertenece mi problema, explicare cada uno de ellos.

La distribución puede ser de dos formas Discreta o Continua.

Distribución Discreta

La Distribución de Variable Discreta es aquella en donde las variables que puede tomar tienen un número determinado de valores.

Por ejemplo: Con un dado se sabe que las variables pueden ser del 1 al 6 o en una moneda con las variables cara o cruz.

Algunas Distribuciones que pertenecen a esta son:

Distribución Binomial
Distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

En pocas palabras es la distribución de Bernoulli pero con repeticiones.

 

p -> Exito
q -> Fracaso
n -> Numero de Repeticiones
k -> Número de Exitos producidos en este experimento

Distribución Poisson
Es la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!
donde
  • k es el número de repeteciones del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
  • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.
  • e base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Distribución de Bernoulli
Experimento en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso).

Los Resultados que puede tomar son sólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representar el éxito, p representaria al exito y q seria el fracaso.

p + q = 1

Distribución Continua

Es aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores que existan dentro de un intervalo.

En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt
Algunas de las distribuciones de variable continua son las siguientes:
  • Distribución Exponencial
  • Distribución Normal
  • Distribución Gamma
  • Distribución Beta
  • Distribución Uniforme (continua)
Volviendo a mi Problema

Mi problema es de Distribución discreta ya que tengo definido hasta donde llega o sea el saber en donde termina ya este determinado.

Tenemos que el libro es de 300 páginas y 16 son los cápitulos y sus respectivas portadas, por lo tanto los valores de p y q son:

p -> 16/300 = 0.05333

q = 1 - p ->q = 1 - 16/300 --> q = 1 - 0.05333 -> q = 0.94666

O sea la probabilidad de obtener una portada seria del 5.33%.

Si escogiera 6 paginas al azar cual seria la probabilidad de que alguna sea una portada.

Tendriamos los siguientes valores:

p = 0.05333
n = 6
k = 1

En base a esta información y a la definición de cada distribución tenemos que el el Problema es de Distribución Binomial

Código en Octave utilizado para resolver el problema y el resultado obtenido.

0 0.719767
1 0.243285
2 0.034263
3 0.002574
4 0.000109
5 0.000002
6 0.000000


A continuación el Código y la Grafica generada en Gnuplot



En base a los valores generados por octave, el resultado de mi problema seria 1 0.243285 o sea 24.3285% (recuerden que en mi problema buscaba saber cual seria la probabilidad si se eligiera solamente a uno), la probabilidad de elegir una portada entre 6 al azar es del 24.3285%.

Por ultimo ver si mi problema puede ser continuo

Con la redacción que maneja mi problema, no puede ser continuo ya que no manejo valores que puedan ayudar a lograrlo, por ejemplo: el tiempo.

Para hacerlo continuo, primeramente tengo que saber a cual Distribución Continua se asemeja el problema y modificar los valores en base a la Distribución elegida.

Me resulto difícil hacer esto ya que no sabia la manera de relacionar mi problema que uno continuo, así que la forma que se eligió fue observar cada una de las gráficas que genera cada una de las distribuciones continuas,gracias a la observación mi problema puede ser de la Distribución Exponencial.


Exponential distribution pdf.png
Distribución Exponencial

Una vez definido lo anterior, como mencione al principio de este punto, hay que ver que valores y parte del problema cambiar.

Observando definiciones de la Distribución, obtuve que la manera de lograrlo seria agregándole tiempo, específicamente cuando se logre el problema.

Dicho de otra manera, ya con la redacción del problema.

Seria el mismo solo obtener el tiempo que se tarde para lograr la elección de 1 Portada.

La formula de la Distribución Exponencial es:


Tenemos que:

e = Constante de Euler (e = 2,71828182845).
t = Tiempo (De nuestro problema seria el tiempo que tarda para lograr la elección de 1 Portada).
Lambda = Frecuencia con que ocurre el problema en cierto tiempo.

Bibliografías

http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Distribuciones_Discretas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_Bernoulli
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Poisson
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencial
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t3.htm

1 comentario:

  1. Pues, te pongo los cinco pero con los negativos acumulados por el retardo. Publica el resto de lo que está pendiente hoy para no acumular más negativos.

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